Aún no tenemos significados para "бережно баюкать".
1Он продолжал бережно баюкать свой ноутбук.
2Сашка стоял в прихожей, боясь отойти от прикрытой двери, и бережно баюкал под курткой дрожащий комок грязного меха.
3-Это же... - он вскочил, но пух свой не выронил, напротив, держал в сложенных горстью ладонях, бережно баюкая.